मान लीजिए P(alpha, beta) परवलय y^2 = 4x पर एक | vedclass

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Question

(A) वृत्त का समीकरण $(x-2)^2 + (y-10)^2 = 1$ है,जिसका केंद्र $C(2, 10)$ और त्रिज्या $r = 1$ है।परवलय $y^2 = 4x$ पर बिंदु $P(t^2, 2t)$ मानिए।न्यूनतम दू

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$20$

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(A) वृत्त का समीकरण $(x-2)^2 + (y-10)^2 = 1$ है,जिसका केंद्र $C(2, 10)$ और त्रिज्या $r = 1$ है।परवलय $y^2 = 4x$ पर बिंदु $P(t^2, 2t)$ मानिए।न्यूनतम दूरी के लिए,$P$ पर अभिलंब केंद्र $C(2, 10)$ से गुजरना चाहिए।$P$ पर स्पर्शरेखा की ढाल $\frac{1}{t}$ है,इसलिए अभिलंब की ढाल $-t$ होगी।रेखा $CP$ की ढाल $\frac{2t - 10}{t^2 - 2}$ है।अतः,$-t = \frac{2t - 10}{t^2 - 2}$ $\Rightarrow -t^3 + 2t = 2t - 10$ $\Rightarrow t^3 = 10$ $\Rightarrow t = (10)^{1/3}$।यहाँ $\alpha = t^2 = (10)^{2/3}$ और $\beta = 2t = 2(10)^{1/3}$ है।इसलिए,$\alpha \beta = (10)^{2/3} 	imes 2(10)^{1/3} = 2(10) = 20$।

मान लीजिए $P(\alpha, \beta)$ परवलय $y^2 = 4x$ पर एक बिंदु है जो वृत्त $x^2 + y^2 - 4x - 20y + 103 = 0$ से न्यूनतम दूरी पर है,तो $\alpha \beta$ का मान ज्ञात कीजिए।

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